יום חמישי, 15 באוקטובר 2015

חוקי ניוטון והפרדיגמה הגלילאנית


רשימה זו מחדשת מבארת ומחליפה רשימה קודמת פרי עטי (שכותרתה היתה "דיון אונתולוגי בחוק הראשון ובחוק השני של ניוטון"), והיא דנה במשמעויות הבסיסיות הנגזרות מהחוק הראשון ומהחוק השני של ניוטון במסגרת הפרדיגמה הגלילאנית. הטריגר לריענון בא מהערות והסתייגויות חלק מהקוראים (כאן ובאופן פרטי), ועל כך תודתי הכנה.


מונחים ראשוניים: 
  • מערכת ייחוס (frame of reference) היא מערכת צירים אשר ניתן לייחס אליה מיקום ואוריאנטציה של כל גוף חומרי, ולתאר באמצעותה את הדינמיקה שלו; מיקום הראשית במערכת נתון לבחירה חופשית.
  • מערכת מנוחה (rest frame) של גוף היא מערכת יחוס בה נמצא הגוף תמיד במנוחה. באופן טריוויאלי כל צופה נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו עצמו.
  • אינטראקציה (interaction) בין גופים מבטאת השפעות גומלין הדדיות; כל גוף משפיע באופן כלשהו על כל גוף אחר הבא עימו באינטראקציה; אין מניעה לאינטראקציה גם בלא מגע פיזי.
  • מסת התמד (inertial mass) היא תכונת ההתמדה המשוייכת לכל גוף חומרי ומבוטאת באמצעות מספר. ככל שמסת ההתמד גדולה יותר נוטה הגוף להתמיד במצב הקינטי בו הוא נמצא. 'מימדיה' הן של מסה וביחידות \(SI\) תבוטא בקילוגרם. 
  • מסה כבידתית (gravitational mass): אם מסת ההתמד היא מטען ההתמדה של גוף אז המסה הכבידתית היא המטען הכבידתי שלו. לא רלוונטית לדיוננו ובכל מקרה מקובל להניח שהיא זהה למסת ההתמד.

הגדרות בקינמטיקה:
  1. וקטור המקום (position vector): פונקציה וקטורית המבטאת את מיקומו של גוף (או של חלקיק נקודתי) כפונקציה של הזמן במערכת ייחוס נתונה. רכיביה הן שלושת הקואורדינטות של הגוף במערכת ייחוס זו וסימונה המקובל \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\).
  2. וקטור המהירות הרגעית (velocity vector): וקטור המהירות הרגעית היא קצב שינוי וקטור המקום והיא מבוטאת באמצעות הנגזרת של וקטור המקום לפי הזמן, \(\boldsymbol{v}:=\dot{\boldsymbol{r}}\). מהירות נושאת 'מימדים' של מקום חלקי זמן, וביחידות \(SI\) מטר לשניה.
  3. תאוצה רגעית (acceleration vector): וקטור התאוצה הרגעית היא קצב שינוי וקטור המהירות הרגעית והיא מבוטאת באמצעות הנגזרת של וקטור המהירות הרגעית לפי הזמן, היינו \(\boldsymbol{a}:=\dot{\boldsymbol{v}}\) כלומר \(\boldsymbol{a}=\ddot{\boldsymbol{r}}\). תאוצה נושאת 'מימדים' של מהירות חלקי זמן, וביחידות \(SI\) מטר לשניה בריבוע.
מטבע הדברים גם התאוצה הרגעית וגם המהירות הרגעית הם משתנים תלויי מערכת ייחוס היות ווקטור המקום הוא תלוי מערכת ייחוס. ובפרט, מערכת המנוחה של גוף היא זו שבה הגוף יושב במנוחה בראשית כלומר מהירותו ותאוצתו במערכת זו - אין אפס - הן תמיד \(\boldsymbol{0}\).

מושגים והנחות יסוד במכניקה:
  1. תנע קווי של גוף הוא מדד וקטורי לתנועתיות הקווית של גוף כפי שהיא נצפית ממערכת ייחוס נתונה. ובשפה מפורשת: התנע הקווי הוא מטען ההתמד \(m\) מכפל בוקטור המהירות, \(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}\). התנע הקווי מקודד את האינרציה הקינטית הגלומה בגוף במערכת יחוס נתונה.
  2. אם נתונה מערכת המכילה כמה גופים, הרי שהתנע הכולל של המערכת הוא סכום התנעים של הגופים במערכת כלומר, \(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}+\cdots\). ברור מאליו שעבור כל גוף התנע שלו מתאפס במערכת המנוחה שלו עצמו.
  3. השפעות הדדיות בין גופים (המאופיינות הן בגודל והן בכיוון) תבוטאנה באמצעות וקטור מיוחד \(\boldsymbol{F}\) המכונה "כוח". מעצם טבעו כוקטור עשוי כוח להיות תוצאת שקלול של כוחות משנה המבטאים השפעות משנה. ובפרט, אם פועלים על גוף כמה כוחות אז אפשר להחליפם בשקול הוקטורי: \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\cdots\).
  4. בהגדרה, באינטראקציה בין מערכת גופים השפעתו של כל אחד מהגופים על משנהו מתמצאת לחלוטין בכוח שהוא מפעיל עליו. טבעו הוקטורי של הכוח מאפשר לטפל באינטראקציה בודדת כאילו כל האחרות אינן קיימות, ולבסוף לסכם את כל האינטראקציות. זהו עיקרון הסופרפוזציה בעבודה עם כוחות.

חוקי ניוטון מהווים מסגרת לתאוריה מכנית כוללת המתיימרת לנתח ולנבא את התנהגותן של מערכות מכניות. היות והמכניקה אינה חזות הכל הרי שהתאוריה מוגבלת מטבעה, ובכל זאת כוחה רב בגבולות תקפותה.

שלשת חוקי התנועה של ניוטון:  
קיימת קבוצה מיוחסת של מערכות יחוס בהן מתקיימות שלושת הטענות הבאות (להלן "החוק הראשון", "החוק השני", ו"החוק השלישי" בהתאמה):
  1. בהיעדר פעולה כלשהי של כוחות חיצוניים, וקטור התנע הקווי של גוף (או מערכת גופים) נשמר בזמן, כלומר במקרה זה \(\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{0}\).
  2. כאשר כוחות חיצוניים אשר השקול שלהם הוא \(\boldsymbol{F}\) פועלים על גוף (או מערכת גופים) מתקיים הקשר \(\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}\).
  3. כל שני גופים הנמצאים באינטראקציה זה עם זה מפעילים זה על זה כוחות השווים בגודלם והפוכים בכיוונם, \(\boldsymbol{F}_{1\to2}=-\boldsymbol{F}_{2\to1}\). אלו הם כוחות פעולה ותגובה.

מערכות הייחוס המיוחסות הללו בהן מתקיימים שלושת חוקי ניוטון מכונות מערכות התמד (inertial frames). מהחוק הראשון אנו למדים ששתי מערכות ההתמד נבדלות זו מזו במהירותן היחסית הקבועה, שאם לא כן הרי שהחוק הראשון לא יהיה תקף לפחות באחת מהן. לכן אם \(\boldsymbol{v}\) היא מהירותו של גוף במערכת ההתמד \(S\), ו- \(\boldsymbol{v}'\) היא מהירותו של גוף במערכת ההתמד \(S'\), ואם \(S'\) נעה במהירות \(\boldsymbol{u}\) ביחס ל- \(S\), אזי \(\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\). כאן אנו מניחים במובלע ש- \(t'=t\) כלומר הזמן הוא אבסולוטי ומשותף לכל מערכות ההתמד.

הקשר הזה בין מהירויות של גוף כפי שהן מבוטאות בשתי מערכות התמד הנבדלות זו מזו במהירותן היחסית מכונה טרנספורמציית גליליי של המהירויות. אינטגרציה לפי הזמן תתן את טרנספורמציית גליליי של המיקומים:  \(\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}t\). ומנגד, גזירה לפי הזמן תיתן את טרנספורמציית גליליי של התאוצות \(\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}\). בהנחה שהמסה אינה משתנה עם הזמן מתקיים הקשר \(\dot{\boldsymbol{p}}=m\dot{\boldsymbol{v}}=m\boldsymbol{a}\) ואז החוק השני מקבל את הצורה המפורסמת \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\). יוצא איפה שהחוק השני אינו מבחין בין כל שתי מערכות התמד, ובפרט \(\boldsymbol{F}'=\boldsymbol{F}\).

כאן המקום להדגיש: אין כל צורך - וגם לא כל סיבה - להניח שמערכת התמד היא "מרחב אבסולוטי". לא זו בלבד שהנחה זו מיותרת לחלוטין, היום אנו יודעים שהיא גם מופרכת לחלוטין. עם ניסוחה של תורת היחסות הפרטית ננטש מושג המרחב האבסולוטי לצמיתות. בסופו של דבר לא המרחב הוא אבסולוטי אלא חוקי הטבע. האבסולוטיזם של חוקי הטבע דווקא מחייב קיומם של מרחב וזמן יחסיים.

לחוק הראשון של ניוטון חשיבות אונתולוגית בשני מישורים: ראשית החוק מניח קיומן של מערכות מיוחדות (אלו הן מערכות התמד) בן ורק בן הוא מתקיים. שנית, החוק הראשון מגדיר (על דרך השלילה) את המהות המכונה השפעה חיצונית או כוח: אם וקטור התנע משתנה בזמן סימן הוא לקיומה של השפעה חיצונית או נוכחות כוח. את טיבם המדוייק של ההשפעות החיצוניות החוק הראשון אינו מגדיר וגם אינו מתיימר להסביר.

החוק הראשון מתייג את מערכות ההתמד באמצעות מהירותן היחסית הקבועה, אך בהביטנו דרך המשקפיים של החוק השני תיראנה כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין זו לזו. ההבחנה היחידה ביניהן היא איפה קינמטית-גרידא והיא באה בדמותה של טרנספורמציית גליליי.

החוק השני של ניוטון מקשר באופן לגמרי לא טריוויאלי בין השינוי בתנע לבין ההשפעות החיצוניות המבוטאות באמצעות שקול הכוחות \(\boldsymbol{F}\). כלומר יש כאן אמירה על יחסי גומלין כמותיים בין הסקטור הקינמטי של המערכת בדמותו של השינוי הרגעי בתנע, והסקטור הדינמי של המערכת בדמותם של הכוחות החיצוניים, העשויים להיות תלויים במאפייני המערכת עצמה.

לכאורה אפשר לגזור את החוק הראשון ישירות מתוך החוק השני: כאשר שקול הכוחות מתאפס, התנע הכולל הוא גודל קבוע בזמן. בצורתו זו מכונה החוק הראשון של ניוטון גם "חוק שימור התנע הקווי". אבל לעניות דעתי טעות תהיה לומר שהחוק הראשון הוא לא יותר מאשר מקרה פרטי של החוק השני. החוק הראשון הוא 'ראשוני' יותר בשל העובדה שהוא מגדיר את מאפייניה של מערכת התמד ובעקיפין גם את המשמעות הפיזיקלית של המושג "כוח". 

במובן זה החוק הראשון "מגדיר" את אגף שמאל של משוואת החוק השני, ולכן גם קודם לו מבחינה הירארכית. ללא החוק הראשון יהיה ניסוחו של החוק השני לקוי באופן בסיסי כיוון שהסקטור הדינמי שלו איננו מוגדר אונתולוגית. אמת לאמיתה, כאשר שקול הכוחות שווה לאפס מתקבל חוק שימור התנע ההולם את החוק הראשון. אבל אבחנה זו מבטאת עקביות המובנת בבסיס המודל, ולא מיותרות (redundancy) כפי שלעיתים נוטים לסבור.

השקילות הפיזיקלית המלאה בין מערכות ההתמד היא בסופו של דבר עיקרון יסוד של הטבע העומד גם בבסיס הפרדיגמה היחסותית כפי שניסח אותה אינשטיין. אבל את המעבר בין הפרדיגמה הגלילאנית לפרדיגמה היחסותית שורד דווקא רק החוק הראשון. גם זו סיבה טובה שלא לראותו רק כמקרה פרטי של החוק השני, אלא כעמוד תווך בסיסי יותר.

החוק השני מתרגם טענה פיזיקלית בדבר השקילות של ההשפעות החיצוניות לשינוי הרגעי בתנע למשוואה דיפרנציאלית וקטורית. אם נתמקד במקרה של מסה קבועה כך ש- \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\), הרי שהואיל ווקטור התאוצה הרגעית היא הנגזרת השניה של וקטור המקום, והואיל וההשפעות החיצוניות עשויות להיות תלויות מקום מהירות וזמן, החוק השני מקבל את הצורה
\begin{aligned}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r},\dot{\boldsymbol{r}},t\right)=m\ddot{\boldsymbol{r}}.\end{aligned}
פתרונה של המשוואה בתוספת תנאי התחלה למקום ולמהירות מנפק את מיקומו מהירותו ותאוצתו של הגוף (או המערכת) בכל זמן. לכן התורה הניוטונית מתארת מציאות דטרמיניסטית ברת חיזוי מדוייק.

הבה נתמקד במערכת המנוחה של צופה מסויים. במערכת זו הצופה תמיד במנוחה ולכן אם חל עליו החוק הראשון, הוא לא צפוי לחוש כוחות אף פעם. אם בכל זאת הוא חש כוחות אזי בהכרח החוק הראשון אינו חל עליו והחוק השני חסר משמעות עבורו. אם נחזור אל ההגדרה של החוק הראשון נגלה שמערכת המנוחה של הצופה החש כוחות איננה מערכת התמד.

כיצד יודע הצופה שלנו שבמערכת שלו פועלים כוחות? באמצעות "מדי כוח" למיניהם: אם גופים הנמצאים במערכת הייחוס שלו מאיצים פתאום ללא סיבה, או אם הם נכנסים למצב שיווי משקל חדש (כמו מטוטלת המתאזנת בזווית, קפיץ הנדחס או נמתח מעבר למצבו הרפוי וכ'), או אם הוא מיטלטל בלי שאף אחד יטלטל אותו אז בהכרח פועלים כוחות במערכת המנוחה שלו.

כוחות הפועלים על צופה במערכת המנוחה שלו עצמו מכונים כוחות מדומים, ומסיבות מובנות. מערכת לא אינרציאלית (כלומר שאינה מערכת התמד) היא אם כן מערכת בה מורגשים כוחות מדומים. האם משמעות הדבר שהחוק השני של ניוטון לא תקף עוד? התשובה היא: במסגרת התורה הניוטונית הוא תקף רק במערכת התמד.

ואולם, אם נוכל לבצע טרנספורמציה ממערכת הייחוס הלא אינרציאלית היכן שהחוק השני חסר משמעות, למערכת התמד כלשהי היכן שתוקפו ודאי, נוכל להכיל אותו גם על הכוחות המדומים! ובאמת, אפשר לעשות זאת באמצעות גדג'ט בשם מערכת התמד רגעית ועל כך הרחבתי בחיבורי עתיק היומין כאן.

לכן בניגוד לסברה רווחת, כוחות מדומים משחקים תפקיד מרכזי בפרדיגמה הניוטונית, וכמובן גם בפרדיגמה היחסותית שמחליפה אותה. נוכחותם או העדרם היא אבן הבוחן באמצעותה יוכל כל צופה לקבוע האם מערכת המנוחה שלו היא מערכת התמד, אם לאו. המידע הזה חיוני עבורו משום שרק באמצעותו יוכל לדעת האם החוק הראשון והחוק השני של ניוטון תקפים במערכת שלו ואם יוכל לעשות בם שימוש.





2 comments:

  1. הראשון שניסח את החוק הראשון (חוק ההתמדה) היה גלילאו. בתקופה שבה האמינו כי כדי לקיים תנועה במהירות קצובה לאורך קו ישר יש להפעילו על הגוף כוח וזיהו את הכוח כגורם לקיום התנועה או לשימורה, בה החוק הראשון ואמר שתנועה במהירות קצובה לאורך קו יש היא "המצב הטבעי" של גופים. אם צופה מסוים "מודד" מיקום של גוף מסוים יחסית אליו והוא רואה שהמיקום משתנה בקצב קבוע ואוסף כל המיקומים נמצא על אותו קו ישר, הוא לא צריך לחפש גורמים לכך, זה המצב הטבעי. מתי מחפשים גורם, כאשר מהירותו של גוף משתנה או כאשר גוף נע במהירות קצובה אבל אנחנו מוצאים שהוא מבצע אינטראקציה עם גוף אחר, למשל המשטח עליו הגוף נע מתחמם. ההסבר לתנועה בשני המקרים יהיה באמצעות החוק השני! הכוח השקול הפועל על גוף שווה לקצב שינוי התנע שלו. קצב שינוי תנע מבטא מתקף ומתקף מבטא אינטרקציה בין גופים. במידה ונחקור תנועה של גוף במערכת שאיננה אינרציאלית מנקודת מבט של המכאניקה הניוטונים, ונימצא כי גוף נע במהירות קצובה לאורך קו ישר, נסיק מכך כי על הגוף פועל כוח המנוגד לכיוון הכוח המערכתי ושווה לו בגודלו. יותר מכך, נסיק את קיומו של הכוח המערכתי מכך שגופים נעים יחסית אלינו בלי שאנו מוצאים שהם מקימים אינטראקציה כל שהיא עם גופים אחרים משנים את מהירותם. אפשר לנסח את החוק הראשון כאמירה "באופן עקרוני לא צריך לעשות כלום כדי שתנועה תישמר". החוק הראשון מניח אפשרות לקיומה של מערכת בה ניתן לבטל את כל ההשפעות החיצוניות. במקרה זה גוף שלא פועל עליו שום כוח (במילים אחרות איננו מבצע שום אינטראקציה) ינוע במהירות קצובה לאורך קו ישר.
    לסיכום שני דברים:
    א. אני חושב שהמכאניקה הניוטונית נותנת לנו נקודת מבט על הדברים, חשיבותה היא בכך שהיא מאפשרת לנו לחזות בדיוק רב גדלים הניתנים למדידה ישירה, וכפי שציין עמיתינו "אמנון רוזן" כל עוד הוא ואני מצליחים להגיע לאותו פיתרון של בעיה זה בסדר.
    ב. אחת לכמה שנים חוזר (בעיקר במערכות חינוך) דיון על משמעותו של החוק הראשון ולמה צריך אותו והאם אין הוא אלה מקרה פרטי של החוק השני. ייתכן שניתן למצוא חוקיות בדיונים אלו? אולי זה החוק הראשון בהוראת המכניקה?

    השבמחק
  2. עופר, האם הניסוח של החוק הראשון המובא בתחילת המאמר הוא ניסוח מודרני? נדמה לי שבעת ניסוח חוקי התנועה ניוטון לא התייחס להיבט האונתולוגי בדבר קיומה של מערכת התמד. אני מקשר לגרסה אלקטרונית של תרגום הפרינקיפיה לאנגלית:
    http://books.google.com/books?id=Tm0FAAAAQAAJ&pg=PA19#v=onepage&q&f=false

    השבמחק