יום שבת, 23 ביולי 2016

גאות ושפל - הפיתוח המולטיפולי

לפני קצת יותר מחודש פורסמה בבלוג של אורן שעיה "עד כדי קבוע" רשימה חביבה על תופעת הגאות והשפל; עלעלתי וקיבלתי תיאבון והרי התוצאה לפניכם. מטעמים מובנים אתמקד בהשפעת הירח על הגאות והשפל, ולאחר מכן אייחד כמה מילים להשפעה של השמש, ולמשחק ההדדי בין השניים.

הגורם הכבידתי הדומיננטי על פני הארץ (בנפילתה החפשית יחד עם הירח לעבר מרכז הכובד תלוי-הזמן של מערכת השמש) הוא כמובן כדור הארץ עצמו. ואולם גוף המונח היכנשהו על פני הארץ מושפע גם מכוח המשיכה של הירח; עצמת המשיכה הזו קטנה למדי והיא משתנה במהלך היממה כתוצאה מהסיחרור סביב ציר הסיבוב הארצי ושינוי המרחק בין הגוף לירח הנגרם בעטיו. מן הסתם, ההבדלים בעצמת הכוח במהלך היממה תלויים גם בקו הרוחב: מטבע הדברים בקו המשווה הם מקסימליים ובקווי הרוחב הגבוהים הם חלשים.

אנו נתעלם מזוטות שהשפעתן קטנה ונתמקד בגורמים הדומיננטים; לצורך כך נתייחס לירח ולכדור הארץ כאילו היו כדורים צפידים בעלי מבנה אחיד. זאת ועוד, לדידנו הירח סובב את כדור הארץ על גבי מישור מילקה (ירחי) הניצב בממוצע לציר הסיחרור הארצי. בתרגיל המופיע בסוף הרשימה נשכלל את החשבון עבור תנודות הירח מעל ומתחת למישור המילקה הירחי. 

הבה נקבע מוסרות:
  • את ראשית הצירים נמקם במרכז כדור הארץ הואיל וזו המערכת ממנה נצפית תופעת הגאות והשפל. יהיה \(\boldsymbol{r}\) וקטור המקום של נקודה כלשהי על פני האדמה ביחס לראשית זו, וגודלו \(r\) כשל רדיוסה הממוצע של הארץ.
  • יהיה \(\boldsymbol{a}\) וקטור המקום של הירח ביחס לראשית זו, והוא מונח על מישור המילקה הירחי. היות והמחזור הירחי הוא בן \(28\) יממות בקירוב והוא ארוך (מן הסתם) פי \(28\) מהמחזור היממתי, נוכל להתייחס בשלב ראשוני זה למיקום הירח כקבוע, ולהניח את וקטור המקום של הירח על ציר \(z\) הקבוע בזמן, כלומר \(\boldsymbol{a}\approx{}a\widehat{\boldsymbol{z}}\), באשר \(a\) מרחקו של הממוצע הירח מכדור הארץ.
  • ולבסוף, תהא \(\theta\) הזווית הנפרשת בין שני הוקטורים הללו.

נבחר את הפוטנציאל הכבידתי של הירח להיות אפס באינסוף. במקרה זה פונקצית הפוטנציאל הכבידתי של הירח בנקודה \(\boldsymbol{r}\) כלשהי על פני כדור הארץ ניתנת ע"י
\begin{aligned}U_{p}\left(\boldsymbol{r}\right)&=-\frac{Gm}{\left|\,\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\,\right|}\\&=\frac{-Gm}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ra\cos\theta}}\end{aligned}
באשר \(G\) הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, \(m\) מסת הירח, ובמעבר לשורה השניה השתמשנו במשפט הקוסינוסים. במונחים של \(\eta:=r/a\ll{}1\) מתקבלת (עד כדי פרה-פקטור) הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר,
\begin{aligned}U_{p}\left(\eta,\theta\right)&=-\frac{Gm}{a}\times\frac{1}{\sqrt{1+\eta^{2}-2\eta\cos\theta}}\\&=-\frac{Gm}{a}\sum_{\ell=0}^{\infty}\eta^{\ell}P_{\ell}\left(\cos\theta\right)\\&=-\frac{Gm}{a}\left(P_{0}\left(\cos\theta\right)+\eta{}P_{1}\left(\cos\theta\right)+\eta^{2}P_{2}\left(\cos\theta\right)+\cdots\right)\end{aligned}

זהו הפיתוח המולטיפולי (בחזקות של \(\eta=r/a\)) של הפוטנציאל הכבידתי של הירח בעטיו נגרמת תופעת הגאות והשפל. הנה הם חמשת המקדמים הראשונים בפיתוח כפונקציה של הארגומנט \(x=\cos\theta\):
\begin{aligned}P_{0}\left(x\right)&=1\\P_{1}\left(x\right)&=x\\P_{2}\left(x\right)&=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-1\right)\\P_{3}\left(x\right)&=\frac{1}{2}\left(5x^{3}-3x\right)\\P_{4}\left(x\right)&=\frac{1}{8}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\P_{5}\left(x\right)&=\frac{1}{8}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\&\;\vdots\end{aligned}
וכך נראים הגרפים שלהם (לקוח מויקי):


כך למשל - ובקירוב ראשוני זה - עבור תל אביב  הנמצאת על קו הרוחב \(32^{\circ}\) צפון תהא הזווית \(\theta\) מתנודדת במחזור יממתי בין \(32^{\circ}\) לבין \(180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}\) וחזרה; עבור קו המשווה \(180\geq\theta\geq0\), ואילו עבור הקטבים משרעת התנודות היממתיות של הזווית מתאפסת.

רדיוס כדור הארץ הוא בממוצע \(r=6370_{\text{ק"מ}}\), ומרחקו הממוצע של מרכז הירח ממרכז כדה"א \(a=384,000_{{\textק"מ}}\). לכן  \(\eta\approx0.0166\) ובנקל נוכל להזניח תרומות מסדר שלישי ומעלה בפיתוח המולטיפולי. במקרה זה,

\begin{aligned}U_{p}\left(r,\theta\right)&=-\frac{Gm}{a}\left\{1+\frac{r\cos\theta}{a}+\frac{r^{2}}{2a^{2}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)+\cdots\right\}\\&\approx-\frac{Gm}{a}\left\{1+\frac{z}{a}+\frac{r^{2}}{2a^{2}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)\right\}\end{aligned}

הכוח ליחידת מסה מתקבל מהגרדיאנט של הפוטנציאל, \(\boldsymbol{g}=-\nabla{}U_{p}\). זוהי התאוצה הנגרמת על פני כדור הארץ בעטיו של כוח המשיכה של הירח. הבה נתבונן בשלושת הסדרים הראשונים של הפיתוח:

  • סדר האפס בפיתוח הוא קבוע ואינו תורם לתאוצה דבר, \(\boldsymbol{g}^{(0)}=\boldsymbol{0}\).
  • סדר ראשון בפיתוח מוביל לתאוצה קבועה של כדור הארץ כולו לעבר הירח, \begin{aligned}\boldsymbol{g}^{(1)}=\frac{Gm}{a^{2}}\,\widehat{\boldsymbol{z}}\end{aligned} ולכן אינו רלוונטי כלל לשאלת הגאות והשפל. \(M\boldsymbol{g}^{(1)}\) הוא הכוח בו מושך הירח את כדור הארץ כולו, משל היה גוף נקודתי.
  • סדר שני בפיתוח מכיל כמה תלויות: על כל מישור שציר \(z\) הוא אחד מציריו (כלומר על כל מישור הנפרש על ידי \(\boldsymbol{a}\) ו- \(\boldsymbol{r}\)), \begin{aligned}\boldsymbol{g}^{(2)}\left(r,\theta\right)&=\widehat{\boldsymbol{r}}\,\frac{\partial{}U_{p}^{(2)}}{\partial{}r}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{1}{r}\frac{\partial{}U_{p}^{(2)}}{\partial\theta}\\&=\widehat{\boldsymbol{r}}\,\frac{Gmr}{a^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)-\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{3Gmr}{2a^{3}}\sin2\theta\end{aligned}המרכיב הרדיאלי של התאוצה הזו מתאפס עבור \(\cos\theta=1/\sqrt{3}\) ומקבל ערכים מקסימליים בשיעור \(2Gmr/a^{3}\) בזוויות \(\theta=0,\pi\), כלומר על קו המשווה. המרכיב הזוויתי מתאפס בזוויות \(\theta=0,\pi/2\) ומקבל ערכים מקסימליים בשיעור \(3Gmr/2/a^{3}\) בזוויות \(\theta=\pi/4,3\pi/4\).

היות ו-\(\theta\) משתנה על פני היממה, התאוצה על שני מרכיביה מתנדנדת בזמן ובמחזוריות של \(12\) שעות. אבל עד כמה היא בכלל משמעותית בהשוואה לתאוצת הנפילה החפשית? תהא \(M\) מסת כדור הארץ וכן \(g_{E}=GM/r^{2}\approx9.81_{\text{m}/\text{s}^{2}}\) תאוצת הנפילה החפשית על פניו; ניעזר בשני אלו כדי לחשב את הערך המקסימלי שמקבל המרכיב הרדיאלי של \(\boldsymbol{g}^{(2)}\):

\begin{align}\tag{1}g_{r}^{(2)\;\text{max}}=\frac{2Gmr}{a^{3}}&=2\left(\frac{m}{M}\right)\times\left(\frac{r}{a}\right)^{3}\times\left(\frac{GM}{r^{2}}\right)\\&\approx2\times\frac{7.35\times10^{22}}{5.97\times10^{24}}\times\left(\frac{6370}{184,000}\right)^{3}\times{}g_{E}\\&\approx1.02\times10^{-6}g_{E}\end{align}

וכפי שאפשר לראות אל-נקלה, הערך המקסימלי של המרכיב הזוויתי הוא \(3/4\) מערכו המקסימלי של המרכיב הרדיאלי. לכאורה נראית ההשפעה מזערית אבל אין זה כך כלל וכלל;

השינוי בגובה פני הים המתקבל מהאפקט בכיוון הרדיאלי קל מאוד לחישוב. כל שעלינו לעשות הוא להשוות את הפוטנציאל הכבידתי הארצי הרדיאלי הנגרם בעטייה של התרוממות מזערית מעל מישור הייחוס הארצי, לסדר השני בפיתוח המולטיפולי של הפוטנציאל הכבידתי הנגרם בעטיו של הירח:
\begin{aligned}&g_{E}h=V_{p}^{(2)}\\\quad\Rightarrow\quad&\frac{GMh}{r^{2}}=\frac{Gmr^{2}}{2a^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)\leq\frac{Gmr^{2}}{a^{3}}\\\quad\Rightarrow\quad&{}h\leq\frac{mr^{4}}{Ma^{3}}\approx3.254_{\text{מטרים}}
\end{aligned}

את אותו חשבון בדיוק תוכלו לערוך עם השמש במקום עם הירח: במשוואה (1) החליפו את מסת הירח במסת השמש ואת מרחק הירח מאיתנו במרחקה של השמש מאיתנו ותקבלו \(g_{r}^{\odot}\approx5.173\times10^{-8}g_{E}\). הערך המקסימלי של פוטנציאל המשיכה הכבידתית השמשית קטן איפה פי עשרים בערך ממקבילו הירחי.

ומה בנוגע להשפעתם המשותפת של גרמי השמיים הללו? כאשר הירח והשמש נמצאים במיקומים מנוגדים (ירח מלא) ההשפעה הרדיאלית של שני העצמים מתחסרת אך ההשפעה הזוויתית מתחברת. כאשר שני הגופים נמצאים באותו המיקום (ירח חסר) השפעת שני המרכיבים מתעצמת. לכן בשתי תקופות אלו מתקבלת גאות חזקה. לעומת זאת, כאשר השמש והירח ניצבים זה לזה שני מרכיבי התאוצה מתקזזים (אך לא בשווה) והגאות חלשה.


תרגיל בשתי מערכות:
  1. יהיו \(\widehat{\boldsymbol{r}}\left(\alpha,\beta\right)\) ו- \(\widehat{\boldsymbol{r}}'\left(\alpha',\beta'\right)\) שני וקטורי יחידה הנתונים בקואורדינטות כדוריות, ובמערכת קואורדינטות משותפת, ותהא \(\theta\) הזווית שהם פורשים בניהם. הוכיחו את הקשר:\begin{aligned}&\cos\theta\,=\,\sin\alpha\sin\alpha'\cos\left(\beta-\beta'\right)+\cos\alpha\cos\alpha'\end{aligned}
  2. הבה נייחס את הקואורדינטות המתוייגות לוקטור המקום \(\boldsymbol{a}\) של הירח ואת הקואורדינטות נטולות התג לוקטור המקום \(\boldsymbol{r}\) המצביע לעבר נקודה כלשהי על פני האדמה, ובה בעת נניח את ציר \(z\) על ציר הסיבוב של כדור הארץ הנוטה בזווית של \(23.5^{\circ}\) בקירוב ביחס לנורמל למישור המילקה השמשי. במצב זה הזווית \(\alpha'(t)\) תתאר את רכינת וקטור המקום \(\boldsymbol{a}\left(t\right)\) של הירח ביחס לציר הסיבוב הארצי, והזווית \(\gamma=90^{\circ}-\alpha\) מייצגת את קו הרוחב אליו מצביע וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) המסתחרר יחד עם כדור הארץ סביב ציר \(z\). ומנגד, הזווית ההיקפית של \(\boldsymbol{a}\left(t\right)\) מקיימת \(\beta'(t)=\omega't\) היכן ש- \(\omega'\) מייצגת את המהירות הזוויתית של הירח עם זמן מחזור של \(T'=2\pi/\omega'\approx28_{\text{יום}}\), בעוד ש- \(\beta(t)=\omega{}t\) היא הזווית ההיקפית של וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) עם המהירות הזוויתית \(\omega\) הקשורה בסיחרור כדור הארץ סביב צירו, ובזמן מחזור של \(T=2\pi/\omega\approx24_{\text{שעות}}\). היעזרו בנוסחת ההרכבה המקשרת בין פולינומי לג'נדר בארגומנט \(\cos\theta\) לבין ההרמוניות הקליפתיות בהצגתן האורתונורמלית המנורמלת, עם הארגומנטים הזוויתיים \(\alpha,\alpha',\beta,\beta'\) כדי לקבל נוסחא סגורה עבור הפוטנציאל הירחי תלוי הזמן בנקודה כלשהי ע"פ כדוה"א: \begin{aligned}&\quad{}U_{p}^{\omega,\omega'}\left(\gamma,t\right)\;=\\&=-\frac{Gm}{a}\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2\ell+1}\left(\frac{r}{a}\right)^{\!\ell}\sum_{n=-\ell}^{n=\ell}Y_{\ell{}n}\left(\pi/2-\gamma,\omega{}t\right)Y_{\ell{}n}\left(\alpha'\left(t\right),\omega'{}t\right)\end{aligned}