יום רביעי, 23 באוגוסט 2017

אינטראקציות בין זרמים חשמליים

בפרק הקודם יצאנו מנוסחת ביו-סבאר בשילוב חוק אמפר וקיבלנו שמורות טופולוגיות מתחום תורת הלולאות, שמורות שלכאורה אין להן דבר וחצי דבר עם אלקטרומגנטיות. בפרק הנוכחי והאחרון בטרילוגיית הזרמים החשמליים נפתח ביטויים עבור הכוחות הפועלים בין הזרמים ונעמוד על טבעם המרתק (לטעמי).

כידוע, צפיפות הכוח \(\boldsymbol{f}\) הפועל על צפיפות זרם חשמלי \(\boldsymbol{j}\) וצפיפות מטען חשמלי \(\rho\) המונחים בשדה עצמה מגנטית \(\boldsymbol{B}\) ושדה חשמלי \(\boldsymbol{E}\) חיצוניים ניתנת באמצעות חוק לורנץ,
\begin{aligned}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)=\underbrace{\rho\left(\boldsymbol{r}\right)\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}\right)}_{\text{החתיכה החשמלית}}+\underbrace{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\times\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)}_{\text{החתיכה המגנטית}},\end{aligned}
וכמו תמיד \(\boldsymbol{r}\) הוא וקטור המקום בתלת-מרחב. אנו כמובן נמקד ענייננו בחתיכה המגנטית הרלוונטית לזרמים חשמליים, \(\boldsymbol{f}_{M}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}\), ומכאן והלאה נסיר את הסימון "\(M\)" לציון "מגנטי".

הכוח הכולל הפועל על שדה צפיפות הזרם הוא כמובן אינטגרל מרחבי על צפיפות הכוח, אלא שאנו מתעניינים בזרמים הזורמים במוליכים חשמליים קוויים, ובמקרה זה האינטגרציה המרחבית מצטמצמת לאינטגרציה מסילתית, \(\boldsymbol{j}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}=i\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}\). מכאן שהכוח הפועל על אלמנט תיל נושא זרם חשמלי המונח בשדה עצמה מגנטית חיצוני \(\boldsymbol{B}\) נתון בביטוי \(\mathrm{d}\boldsymbol{F}=i\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{B}\right)\), והכוח הכולל על התייל מתקבל מאינטגרציה מסילתית:
\begin{aligned}\boldsymbol{F}=i\int_{C}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}

במקרה ומדובר בשדה עצמה מגנטית אחיד ובו מונח תייל (או מוט) ישר באורך \(L\), אינטגרציה תיתן מיד את התוצאה המוכרת מלימודי התיכון \(\boldsymbol{F}=i\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{B}\right)\) באשר \(\boldsymbol{L}=L\widehat{\boldsymbol{L}}\). ואולם, אם \(C\) מסילה סגורה, היינו לולאה סגורה נושאת זרם, הרי שהכוח הכולל עליה בשדה האחיד בהכרח מתאפס \(\boldsymbol{F}=i\left[\oint_{C}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\right]\times\boldsymbol{B}\equiv\boldsymbol{0}\), זאת מאחר ו- \(\oint_{C}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\equiv\boldsymbol{0}\), ראו פיתוח זהות מספר (\(11\)) ברשימה זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב. שימו לב, העובדה שהכוח מתאפס אינה מבטיחה כמובן שהמומנט מתאפס, ומן הסתם, בדרך כלל הוא לא... (חישבו על דוגמא למקרה שבו הוא דווקא כן מתאפס).

ומה קורה בשדות מגנטיים שאינם אחידים? ובפרט, מהו טבעו של הכוח המגנטי הפועל בין תיילים נושאי זרם? ועוד יותר ספציפית, מה תהא האינטראקציה המגנטית בין לולאות נושאות זרם? בין לולאות שזורות נושאות זרם? התשובות לכל השאלות הללו נגזרות על-נקלה מנוסחת ביו-סבאר והן באמת מעניינות.

הסכמה על צורת רישום: בדומה למינוחים שאימצנו ברשימתנו הקודמת על שזרים ושמורות טופולוגיות, גם כאן הוקטור המצביע מהנקודה \(\boldsymbol{r}_{1}\) לנקודה \(\boldsymbol{r}_{2}\) הוא הוקטור \(\boldsymbol{r}_{12}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\). כמו-כן, \(\boldsymbol{r}_{12}=-\boldsymbol{r}_{21}\) והמרחק בין שתי הנקודות הוא פשוט \(\left|\boldsymbol{r}_{12}\right|=\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|\).

יהיו \(C_{1}\) ו- \(C_{2}\) שני תיילים קוויים הנושאים זרמים חשמליים \(i_{1}\) ו- \(i_{2}\) בהתאמה; התנאי היחיד שאנו משיתים על שני התיילים הללו הוא שהעקומות שהם מציירים תהיינה חלקות. שדה העצמה המגנטית שמשרה התייל הראשון על התייל השני יסומן כ- \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\) ושדה העוצמה המגנטית שמשרה התייל השני על התייל הראשון הוא \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\). שימוש בנוסחת ביו-סבאר עבור העצמה המגנטית שמייצר כל תיל יתן את אלמנטי הכוח שכל תיל מפעיל על אלמנט תיל נגדי:

\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{F}_{1\to2}&=i_{2}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\stackrel{\text{ביו-סבאר}\atop\downarrow}{=}i_{2}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\left[\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{1}\int_{C_{1}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}}{\left|\boldsymbol{r}_{12}\right|^{3}}\right]\\&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{2}i_{1}\int_{C_{1}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{12}\right|^{3}}\\\mathrm{d}\boldsymbol{F}_{2\to1}&=i_{1}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\stackrel{\text{ביו-סבאר}\atop\downarrow}{=}i_{1}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\left[\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{2}\int_{C_{2}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{r}_{21}}{\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|^{3}}\right]\\&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{1}i_{2}\int_{C_{2}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{r}_{21}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|^{3}}\end{aligned}

כבר בשלב הזה אנו רואים ש- \(\mathrm{d}\boldsymbol{F}_{1\to2}\neq\mathrm{d}\boldsymbol{F}_{2\to1}\) הואיל והמכפלה הווקטורית אינה קומטטיבית ואף אינה אסוציאטיבית. במילים אחרות, כבר עתה ברור שהחוק השלישי של ניוטון אינו חל על האינטראקציה ההדדית בין תיילים נושאי זרם, תוצאה המוכרת לנו מהאינטראקציה המגנטית בין חלקיקים טעונים בתנועה יחסית (שהיא כמובן מקרה פרטי של תיילים נושאי זרם).

אינטגרציה נוספת על הלולאה \(C_{2}\) הנמצאת תחת השפעתה של הלולאה \(C_{1}\) תיתן עתה ביטוי סגור לכוח הכולל הפועל עליה \(\boldsymbol{F}_{1\to2}\), אלא שבאינטגראנד מופיעה מכפלה וקטורית משולשת המערפלת קמעה את אופי האינטראקציה. נפרוש את המכפלה המשולשת 

\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}\right)=\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\boldsymbol{r}_{12}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}-\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{r}_{12}\end{aligned}

ונקבל שתי תרומות לכוח (החליפו \(1\leftrightarrow2\) כדי לקבל את הכוח הכולל \(\boldsymbol{F}_{2\to1}\) ש- \(C_{2}\) מפעילה על \(C_{1}\)):

\begin{aligned}\boldsymbol{F}_{1\to2}&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{1}i_{2}\left\{\int_{C_{2}}\int_{C_{1}}\frac{\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\boldsymbol{r}_{12}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}}{\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|^{3}}+\int_{C_{2}}\int_{C_{1}}\frac{\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{r}_{12}}{\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|^{3}}\right\}\end{aligned}

"רואים בעיניים" שהתרומה השניה באגף ימין בביטוי דלעיל אנטי-סימטרית תחת ההחלפה \(1\leftrightarrow2\), והיא מבטאת את אותו מרכיב באינטראקציה המציית לחוק השלישי של ניוטון. ומנגד, התרומה הראשונה שבאגף ימין אינה סימטרית תחת ההחלפה ומבטאת את המרכיב השובר את החוק השלישי. ואולם... אם בלולאות עסקינן הרי שהתרומה הסוררת מתאפסת באופן זהותי. הבה נראה זאת מפורשות: 

\begin{aligned}&\oint_{C_{2}}\oint_{C_{1}}\frac{\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\boldsymbol{r}_{12}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}}{\left|\boldsymbol{r}_{21}\right|^{3}}=-\oint_{C_{1}}\oint_{C_{2}}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\nabla\left(\frac{1}{\boldsymbol{r}_{12}}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\:=\\&=\:-\oint_{C_{1}}\underbrace{\left\{\oint_{C_{2}}\mathrm{d}\left(\frac{1}{\boldsymbol{r}_{12}}\right)\right\}}_{\equiv\;0}\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\;=0\end{aligned}

זאת מאחר ולכל פונקציה סקלרית חלקה \(f\) מתקיים \(\mathrm{d}f=\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\nabla{}f\), וכמובן האינטגרציה של \(\mathrm{d}f\left(r\right)\) על מסילה סגורה שאינה עוברת דרך הראשית בהכרח מתאפסת (שימו לב שהעובדה שאין כאן כלל תלות זוויתית חיונית להתאפסות האינטגרל (למה?)).

לכן במקרה של שתי לולאות סגורות נושאות זרם הנמצאות זו תחת השפעתה (המגנטית) של זו, האינטראקציה ההדדית בניהן מצטמצמת לביטוי 

\begin{aligned}\boldsymbol{F}_{1\to2}=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i_{1}i_{2}\oint_{C_{2}}\oint_{C_{1}}\frac{\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{r}_{12}}{\left|\boldsymbol{r}_{12}\right|^{3}}\end{aligned}

ובפרט, האינטראקציה מכבדת את החוק השלישי: \(\boldsymbol{F}_{1\to2}=-\boldsymbol{F}_{2\to1}\). שימו לב שלולאות המונחות על מישורים ניצבים אינן מפעילות זו על זו כוח כלל ועיקר, שהרי אז \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\equiv0\). כך למשל, מאחר ונוכל להתייחס לתייל ישר ואינסופי כאל לולאה בעלת רדיוס אינסופי, הרי שהכוח הפועל בין לולאה מעגלית נושאת זרם לבין תיל ישר נושא זרם המתלכד עם ציר המעגל, בהכרח מתאפס.

ולסיום, כאשר מדובר במספר כלשהו \(n\) של לולאות, הרי שעיקרון הסופרפוזיציה מוביל מיידית לביטוי עבור הכוח הכולל שמפעיל כל מקבץ של \(n-1\) לולאות על זו הבודדת הנמצאת תחת השפעתן:
\begin{aligned}\boldsymbol{F}_{\text{כל הלולאות על}\atop\text{$j$-הלולאה ה}}=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)\sum_{k\neq{}j}i_{j}i_{k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{j}\right)\boldsymbol{r}_{kj}}{\left|\boldsymbol{r}_{kj}\right|^{3}}\,.\end{aligned}


תרגיל קצר לסיום: זרם חשמלי \(i_{1}\) זורם בלולאה מעגלית שרדיוסה \(a\) וזרם חשמלי \(i_{2}\) זורם בתיל ישר ואינסופי. הלולאה והתיל מונחים באותו מישור והמרחק הקצר ביותר בין מרכז הלולאה לתייל הוא \(d>a\). חשבו הראו והשיבו:
  1. \begin{aligned}{F}_{1\to2}=4\pi\,i_{1}i_{2}\left(\frac{d}{\sqrt{d^{2}-a^{2}}}-1\right)\end{aligned} 
  2. כיצד משפיעים כיווני הזרמים על כיווני הכוחות?
  3. מדוע הארגומנט בו השתמשנו כדי לטעון שהכוח בין לולאה מעגלית נושאת זרם לבין תיל ישר נושא זרם המונח על צירה בהכרח מתאפס - אינו תקף עבור הקונפיגורציה המוצגת כאן?